أثبت أن العلاقة |z−1|+|z+1|=c تمثل معادلة قطع ناقص.حيث z=x+iy


+2 تصويتات

أفضل إجابة

نفرض أن

z=x+iy


بالتعويض

\left | (x-1)+iy \right |+\left | (x+1)+iy \right | =c


\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2} =c

لسهولة التعويضات سأضع c=2a

\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2} =2a

\sqrt{(x-1)^2+y^2} =2a-\sqrt{(x+1)^2+y^2}

بتربيع لطرفين


(x-1)^2+y^2 =(2a-\sqrt{(x+1)^2+y^2})^2

(x-1)^2+y^2 =4a^2-4a\sqrt{(x+1)^2+y^2}+(x+1)^2+y^2

بالاختصار وفك الأقواس

x^2-2x+1=4a^2-4a\sqrt{(x+1)^2+y^2}+x^2+2x+1

بالاختصار والترتيب


a\sqrt{(x+1)^2+y^2}=a^2+x


بترتبيع الطرفين



a^2(x+1)^2+a^2y^2=(a^2+x)^2

بفك الأقواس

a^2x^2+2xa^2+a^2+a^2y^2=a^4+2a^2x+x^2

بالاختصار والترتيب

x^2(a^2-1)+a^2y^2=a^2(a^2-1)

سنرمز ل (a^2-1) ب b^2


x^2b^2+a^2y^2=a^2b^2

بالقسمة على a^2b^2


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1


وهي تمثل معادلة قطع ناقص